jueves, 30 de diciembre de 2010

EN BUSCA DE UNA ANTINOMIA: LO BELLO Y LO SINIESTRO

Esta entrada, que constituye una evocación nostálgica de algunos recuerdos personales de la década de los 50, la dedico a mi hija Ivana, en comentario a una nota suya en Facebook, sobre el Mr. Sandman de las Chordettes.


1. Los Cuartetos Vocales en los años 50


En la década de los 50 la música vocal y con ella el predominio de la armonía sobre lo meramente melódico, enriquece la música popular. Un ejemplo paradigmático es el grupo Chordettes y su  tema Mr. Sandman, de 1954, del que llegaron a vender un millón de copias. Habian sido precedidas por las Sister Andrews que hicieron sus grabaciones más conocidas en las dos décadas anteriores. Un hoy por desgracia inencontrable Cuarteto Orpheus llena los recuerdos de mi infancia, en la España de los años 50. Luego, siguieron cuartetos de voces masculinas que incorporaban una mujer, habitualmente lider del grupo, como Los Platters, conjunto negro, o posteriormente, Los Cinco Latinos. 

Mr. Sandman es el equivalente germánico  y anglosajón  a nuestro "Hombre del saco", o "El Coco" (que se lleva a los niños que "duermen poco".) 

En los 50 norteamericanos, no obstante, manteniendo el nombre de resonancias románticas e infantiles se ha desplazado  dormirse uno, especialmente el niño, voluntariamente  (sleeping) para conjurar la llegada del terrible "Arenero" germánico (Der Sandmann), que echa  arena a los ojos de los niños despiertos, hacia un personaje que les trae un sueño (dreaming) y, en el caso de Las Chordettes,  se completa el desplazamiento hacia una figura benéfica, ya que,  en definitiva, lo que le piden al "hombre de Arena" (Sandman), transmutado en figura benéfica, es que las duerma trayéndoles el lindo sueño adulto (dream) de un enamorado, ya en las antípodas de de los terrores infantiles. 


2. Un cuento de E.T.A Hofmann, Der Sandmann. 
          Imagen de Hoffmann
Hoffmann es el literato alemán romántico creador del cuento terrorífico y del personaje que describe en su relato del mismo nombre. En este cuento  narra la historia del estudiante Nathaniel y el recuerdo infantil de la pérdida de su padre a manos de un siniestro personaje, el abogado Coppelius, alter ego del Arenero, que, según la niñera, era quien echaba arena a los ojos abiertos de los niños que no dormían, para sacárselos y llevarlos a la Luna, donde sus hijos, de picos curvados,  se los comerían. 
Nathaniel, pese a tener una bella novia, Chiara, vive atormentado por el recuerdo de sus vivencias infantiles, por haber  muerto su padre a manos de tan siniestro personaje. El relato nos lo cuenta a través de tres cartas, escritas por él a su amigo Lotario, hermano de Chiara, la segunda de Chiara a a Nathaniel y la última  de Nathaniel a Lotario. Esas cartas introducen el tema que se desarrolla a continuación. 
                                                                                                                 
La muñeca Olimpia entre Spalanzani y Coppelius
Cuando Nathaniel, adulto, ya en Italia,  estudia con un físico llamado Spalanzani conoce al repugnante  Coppola, que llama una tarde a su puerta para venderle barómetros.Él no quiere comprárselos  porque sospecha, horrorizado,  que el tal Coppola, pese a su acento italiano, no sea el Coppelius de su infancia, asesino de su padre, y su terror e ira  llegan al paroxismo cuando Coppola, viendo que no quiere barómetros, le dice que le puede vender bellos ojos (en italiano gafas); Nathaniel se encoleriza pero acaba comprándole unos prismáticos. Con ellos,  desde su ventana, mira a la  bellísima Olympia, que en realidad no es una mujer, sino una muñeca mecánica que le ha construido el físico Spalanzani a Coppola-Coppelius que ha aportado los ojos para la muchacha. Nathaniel se enamora locamente de Olympia sin  sospechar que se trata de una muñeca y le declara su amor después de un concierto que da la muchacha sin lograr que ella pronuncie una sola palabra más que suspiros. Spalanzani, envanecido del engaño en que está Nathaniel, le permite que visite a su hija Olympia, cosa que hará a menudo, pero una tarde oye aterrado que Spalanzani y Coppelius se pelean,. Al parecer Coppelius reclama una suma de dinero a Spalanzani por los ojos de Coppelia y como éste se niega a pagarle se abalanza  sobre la muñeca a la que destroza en pedazos llevandose sus ojos. Nathaniel, enloquecido de dolor y espanto, termina por suicidarse, lanzándose  de lo alto de una torre.

3. Freud y la interpretación psicoanalítica de lo siniestro. Der Humheinlich 1920
                      
Sigmund Freud
Este ensayo de Freud lleva el número CIX en el tercer tomo de la traducción española de sus obras completas, de Biblioteca Nueva, primera en publicarlo en nuestra lengua, y figura en mi biblioteca personal desde hace años Tiene apenas  cincuenta páginas, y el sello del genio. Empieza sopesando   si va a iniciar su  análisis partiendo de su experiencia analítica concreta, o del análisis de lenguaje y termina decidiendose por esa última via. El análisis del concepto de lo siniestro - humheinlich por oposición a heimlich (familiar, conocido) le lleva a destacar que lo siniestro se produce cuando algo familiar y conocido se muestra bajo un aspecto inesperado. A continuación, analiza el cuento de Hoffmann en detalle, relacionando la angustia del niño por la posible pérdida de sus ojos a manos del arenero, como síntoma de la angustia de castración,  fantasía infantil surgida del complejo de Edipo, que hace temer que el padre pueda vengarse así, del amor del niño por su madre. Destaca igualmente la doble "imago" del padre bueno, el que protege, ama, alimenta y cuida del niño, con la del padre malo, siniestro, que puede imponerle el castigo de la castración. Así,la pérdida de los ojos encubre, de acuerdo con lo hallado por él en su experiencia analítica, la del miembro viril, como sucede igualmente con otras partes del cuerpo. El  padre bueno de Nathaniel es el que aleja el niño del Arenero y  suplica a éste que no le eche brasas a los ojos, salvándole y pagando posteriormente él mismo con la vida a manos del siniestro personaje.                                                                                                                                               
El sorprendente libro de Masson
Naturalmente el paso de los años ha menguado considerablemente la fascinación que sentí por Freud a mis dieciocho, cuando leí y releí sus principales escritos, pese a que simultaneara ya entonces dicha lectura, con la dura crítica del biógrafo alemán Emil Ludwig. Esta fascinación ha ido siendo substituida por una actitud crítica más cercana a la interpretación contemporanea de los mismos,  por los intelectuales de la derecha. Entre ellos destacaría a Eysenk con su  "Decadencia y Caida del Imperio  Freudiano" y al sorprendente  analista Jeffrey Mousaieff Masson con su "El Asalto a la Verdad  que explica cómo Freud se apartó de su primera hipótesis, que concedía crédito a los relatos de sus pacientes femeninas, enfermas porque habían sido acosadas sexualmente en su infancia, por algún pariente cercano,  (contrariamente a lo que solían hacer sus colegas) y terminó desviándose de dicha interpretación por la de una fantasía bajo la presión del complejo de Edipo femenino, que desea al padre solo para si y fantasea con "quitárselo a  la madre" Este cambio que invierte totalmente la explicación, la llevó a cabo, según parece, bajo la influencia de uno de sus amigos más íntimos Wilhelm Fliess en cuya correspondencia se han encontrado las dudas y vacilaciones que le confiara su amigo  Freud al inicio de la elaboración de su teoría. 

¡"E pur si mouve ..."!  Pese a todo sigue siendo un placer la lectura de Freud, directamente en sus obras.

Un aspecto que me ha aportado la relectura de este ensayo del maestro, es que aborda, de manera tangencial y como de pasada, un tema que fué tratado luego extensamente por Carl Gustav Jung: La sincronicidad; por el que, años atrás me interesé a través de un libro de Arthur Koestler mucho menos conocido que su famosa novela  "Darkness at Noon. o sus sensacionales Memorias. Aunque tengo ambas obras en mi biblioteca, debo buscar a fondo para que aparezcan a la luz, a fin de  comprobar quien fué realmente el padre de la idea. 
4. Una película excepcional. Los Cuentos de Hoffmann 1951
En Barcelona se estrenó en 1955, el mismo año en que el Festival de Bayreuth recaló en nuestra ciudad de la mano de Wieland y Wolfgang Wagner, nietos del compositor,  y ambos eventos están unidos de manera muy especial a mis recuerdos infantiles. Tenía yo entonces once añós. La película  inglesa,  basada en la ópera de Offenbach, obra del equipo de dirección y producción formado por Michael Powell y Erick Pressburguer, incluía grandes novedades técnicas que causaron asombro en la época, apoyadas en dibujos, decorado y cortinajes; contó   con  la participación de la extraordinaria bailarina y actriz Moira Shearer, escocesa pelirroja de mítica belleza, que hace una interpretación preciosa de la muñeca Olympia, y  en el papel del enamorado estudiante Hoffmann-Nathaniel, maravillosamente interpretado por el actor Robert Rounseville, cuyo trágico enamoramiento le impide ver aquello que los demás, incluido su amigo Nicklaus, interpretado por la actriz Pamela Brown,   ven claramente y así, ser manipulado por el siniestro duo que componen el físico Spalanzani y el óptico Coppelius, que no es otro que el abogado Coppelius del cuento de Hoffmann, el siniestro Sandmann, el espantoso Arenero. 

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La actriz Moira Shearer. La fotografía
destaca  su bella tonalidad de piel y cabello
En los últimos años de su asociación, Powell se interesó en lo que él llamó "una película compuesta", un matrimonio de imagen y música operística.  El final de Narciso Negro y el célebre ballet "secuencia", de Las Zapatillas Rojas,  son incursiones anteriores para lograr su objetivo. La película es muy apreciada por su diseño de producción y la cinematografía. 
Cada historia está marcada por sus colores primarios individuales que denotan el tema respectivo. El "Cuento de Olympia", ambientado en París, tiene contornos amarillos destacando el carácter absurdo y el tono del primer acto. El "Cuento de Giuletta" es una pintura infernal de Venecia , con utilización de  colores oscuros, especialmente el rojo.El cuento final, ambientado en Grecia, usa diferentes tonos de azul, en alusión a su carácter triste. La puesta en escena se muestra  deliberadamente artificial y estilizada. La escena inicial de la "Historia de Giuletta" (donde Giuletta interpreta la "Barcarola", el famoso tema  de la ópera) se pone en escena en una góndola veneciana que se mueve a través de canales artificiales de manera deliberadamente irreal.


5. Vértigo de Alfred Hitchcock,1958. Un monumento al "amour fou"
     
             Amor constante, más allá de la muerte (F. de Quevedo)


                    ...Medulas que han gloriosamente ardido,
                    su cuerpo dejarán, no su cuidado;
                    polvo serán, mas polvo enamorado
                        Francisco de Quevedo 

El film es, sin duda, la más bella historia de amor rodada por Hitchcok. La bellísima Kim Novak, actriz rubia, como prefería para sus películas el director inglés al resto de tipos de belleza femenina,  aparece en ella desde los primeros momentos como una diosa, en una preciosa escena que la envuelve y mima con una iluminación y unos decorados perfectos. . El protagonista, Scottie, interpretado por Stewart Granger, un detective que convalece del accidente sufrido durante la persecución de un delincuente, al que un viejo amigo encarga que vigile los movimientos de su mujer, Madeleine, se enamora desde el primer momento de ella y su pasión va "in crescendo" durante todo el film, constituyendo un paradigma de "amour fou".  Un amor incondicional más allá de la realidad, e incluso de la muerte, de tal manera que cuando la cree fallecida, el hundimiento moral que le provoca su pérdida le lleva a un sanatorio en un estado lamentable.

Primera aparición de Madeleine
.
En todo momento la partitura genial de Bernard Herrmann, de una expresividad y calidad sinfónica extraordinarias, constituye el elemento  imprescindible que enfatiza  las emociones que el film pone de manifiesto. Por otro lado, en el aspecto de la imagen, las tonalidades verdosas y rojizas que en momentos clave emplea el fotógrafo Robert Burkes, subrayan los estados anímicos del protagonista, de enorme riqueza. La belleza de Kim Novak está en su punto más alto cuando interpreta esta película. Su encanto, juventud y enorme atractivo son uno de los grandes alicientes del film. Las diferencias de peso que tanto irritaron a Hitchcock no hacen sino remarcar y enriquecer su enorme atractivo. En la escena en que aparece más delgada, en la habitación de Scottie, después que éste la salve de ahogarse en la Bahía de San Francisco, dando a entender que ha tenido que desnudarla para meterla en cama y que sus ropas se secaran, su encanto y belleza constituyen uno de los climax de la película 

                                            
 Madeleine  en casa de Scottie. La escena con más carga  erótica del film.




Algunos detalles de lenguaje cinematográfico resultan enormemente sutiles, como el reflejo de Kim Novak en el espejo de la floristería de la calle Claude Lane, o la carta que empieza a escribir  a Scotty y termina por romper, en su reencuentro con éste, donde se pone de manifiesto que es zurda. El primer recurso, como Madeleine, es una manera de indicar que está fingiendo y el segundo como Judy anuncia la aparición de lo siniestro que irá creciendo  hasta la última escena del film, que termina con la muerte, esta vez real, de la protagonista propiciada por el propio Scottie.  

La Escena en el bosque de las sequoias, donde la sensación de misterio se incrementa con el recurso de que las palabras que ella pronuncia  ella lleguen al oido del espectador  por el canal izquierdo, termina con uno de los besos más hermosos de la historia del cine, acompañado de la música de Herrmann con el mar batiendo al fondo, lleva la emoción a un climax. Por cierto el lindo peinado de Novak tiene el moño con giro levógiro, es decir "a siniestras"


Primer beso de Madelaine y Scottir

Que  Hitchcock logró hacer de esta película una auténtica obra de arte es algo que se advierte desde el la presentación, que es, por si sola, de una expresividad plástica genial. De una novela de dudosa calidad y  argumento endeble, que solo tomó como pretexto para hacer una gran historia de amor, y eso lo logró al dar prioridad,por vez primera en su filmografía, al análisis emocinal de este sentimiento sobre el aspecto de intriga.


6. Eugenio Trias y su ensayo "Lo Bello y lo Siniestro"

Voy a terminar esta disgresión sobre la proximidad de estos sentimientos y el recuerdo nostálgico de una década comentando brevemente este ensayo de Eugenio Trías, catedrático de Historia de las Ideas en la Universidad Pompeu Fabra, libro que en su momento leí con gran placer y se convirtió, como los anteriormente citados en obra de gozosa relectura.
El ensayo discurre sobre el concepto kantiano de lo bello y sublime, el freudiano de lo siniestro en el cuento de Hoffmann, la pintura renacentista de la Academia Florentina y neoplatonismo de la misma. el film Vértigo de Hitchcock y la relación de Freud con la tragedia griega. 
Al film de Hitchcock dedica la tercera de las cinco partes del libro y, ya en la introducción  pone de manifiesto que su objetivo va más allá y la tesis que expone es que el cine como arte actual por excelencia gravita en torno a la categoría de lo siniestro y logra desprender del trabajo de la misma, el efecto de belleza.
 Respecto del filme de Hitdhdok, destaca la atracción del vacio que se abre sobre el protagonista en el inicio galopante del film, que le causará la acrofobia, clave en el desarrollo de la película, ya que, conocida esta debilidad por su amigo,   da la seguridad a éste de que no llegará a tiempo para salvar a Madelaine y él podrá darle el cambiazo que hará creer a Scottie que ella ha muerto.
Esta tercera parte  del libro lleva por título  "El Abismo que sube y se desborda" en alusión a las palabras del profeta Ezequiel a quien, contrariamente a como hizo Voltaire, toma totalmente en serio:


"Haré subir sobre tí el abismo y las muchas aguas te cubrirán
             y te haré descender con los que descienden al sepulcro"

En el momento en que Scottie mira hacia el abismo con sus ojos aterrados fuera de las órbitas descubre, de reojo (el protagonista pasa según Trias la mayor parte de la película mirando de reojo) algo que teme ver y, a la vez, le fascina: El abismo profundo, rostro de Madeleine mediante un procedimiento técnico muy descrito que consigue:

"la más impresionante imagen que ha dado el cine sobre la sensación subjetiva de terror"

"El ojo registra esta subida del abismo, previa al descenso al sepulcro.

"Toda la película se juega en el arco tendido sobre el abismo por dos ojos que se desvian de su trayectoria, que miran a los ojos sin dejar de mirar de reojo, hacia abajo, hacia el abismo, Scottie, hacia arriba, hacia la torre, Madelaine"

El análisis que lleva a cabo Trias es realmente magistral, y destaca con extraordinaria sensibilidad el análisis de los distintos planos cinematográficos y su sentido, la forma y el contenido, poniendo el acento en la visión subjetiva y objetiva que considera clave para la comprensión del film.

En la primera parte que discurre sobre el concepto de lo bello y lo sublime en Kant y lo siniestro en Freud inicia su discurso con dos frases de Rilke y Schelling, verdaderos hallazgos para la introducción del tema:


"Lo bello es el comienzo de lo terrible que aun podemos soportar" (Rainer María Rilke)

"Lo Siniestro es aquello que, debiendo permaner oculto, se ha revelado" (Schelling)

Siguiendo con la parte tercera donde analiza el film señala que Scottie:

"es un individuo torcido y gafe (otra forma de referirse a lo siniestro) que produce, en razón a su acrofobia, caidas al abismo de aquellos a quienes ama o con quien está directamente asociado" el policía, su amiga Michi y hasta la propia Madeleine. 
En general, Trias es un pensador muy centrado en el aspecto  estético, que ha dado clases en la Escuela de Arquitectos, con un profundo conocimiento de las técnicas cinematográficas, así como una destacada componente filosófica y pretende, según dice,  más un juicio sobre el cine en general,que sobre esta película en particular, no obstante, a mi modo de ver, la atracción que siente por ella y por Hitchcock como director de cine,  hace que no se refiera en este análisis a ninguna otra película en apoyo de su tesis, más que a Psicosis también de Hitchcok, de la que destaca las similitudes con Vértigo del plano del ojo de Janet Leigh en la bañera y los remolinos que forma el agua del desagüe de la misma, mezclada con la sangre de la infortunada protagonista y del  moño de la "madre" del personaje interpretadi por   Anthony Perkins.


Escenarios de San Francisco donde se rodó Vértigo
Bernard Herrmann Escena de Amor de Vértigo  Director: E.P. Salonen

viernes, 24 de diciembre de 2010

NAVIDAD DE 2011


La nostalgia y la dulce añoranza del pasado nos invaden estas fiestas Los recuerdos  de los seres queridos que ya no están entre nosotros, a quienes tanto quisimos, cuya memoria forma parte indisoluble de nuestro ser. ¿Qué estariamos dispuestos a dar para poder besarlos de nuevo? ¡Cuántas cosas quedaron por decirles…!, Si hay un Dios tras de ese universo helado de la materia, y podemos volver a verles cuando, también nosotros hayamos abandonado este mundo, y sean nuestros hijos quienes nos rindan el tributo de su amoroso recuerdo,  cómo será esta experiencia más allá del tiempo, del espacio y de la materia, bajo la cual los conocimos y que ahora nos resulta imposible separar de su querida ausencia.?

¡Que callen las palabras y hable la música!. ‘¡Que sea el inefable Bach,, tocado por la mano de la Divina Providencia, quien nos conmueva con el lenguaje de la música allende los  conceptos, inseparables de la palabra!

Dos partes del Weichnachtoratorium que me resultan particularmente queridas pues en ellas se une  el espíritu en su mas alta expresión, junto a la expresividad, fraseo inigualable y dulce belleza,  tan femenina, espiritual y carnal a la vez, de las bellísimas  Angelika Kirsshlager y Bernarda Fink.

Que hable Juan Sebastián. ¡Va por ti querido papá! . ¡Va por ti, madre adorada. y por vosotras mujeres amadas en cada etapa de mi vida,  que me habeis dado en la tierra, lo mas cercano al cielo, con vuestro cuerpo y  alma cercanos y lejanos, presentes y ausentes, para siempre indelebles en el fondo del alma del niño y joven que fui y del hombre que soy.!




miércoles, 1 de diciembre de 2010

Desarrollos en Serie.Series Funcionales

Teorema de Rolle

Enunciado

Sea y=f(x) 

·        Contínua en    [a,b]
·        Derivable en   (a,b)
·        Cumpliendo     f(a) = f(b)

Se cumple que:


   Demostración
·        Por el terorema de Weirstrasse, f(x) tiene en [a,b]máximo y mínimo absolutos
·        Si ambos se encuentran en los extremos, f(x) toma un valor constante por coincidir máximo y mínimo -caso imagen (A)-
·        Si algún máximo o mínimo se halla en un punto interior al intervalo tal máximo o mínimo es, además de absoluto, relativo luego f’(c)=0  -caso imagen (B)-


Teorema del Valor Medio

Sea y=f(x) 

·        Contínua en    [a,b]
·        Derivable en   (a,b)
·        Y, además,      f(a) f(b)

Se cumple que:


Demostración

·        Definimos una función auxiliar g(x) tal que:
·        g(x) = f(x) – f(a) – k(x-a)  (1) 
·        Características de la función:
o       g’(x) = f’(x) –k   (2)
o       Si es x=a entonces:
o       g(a) = f(a)-f(a) –k(a-a) =0   (3)
·        Determinamos k para un valor g(b) =0
o       g(b) = f(b) – f(a) – k(b-a) = 0  (4)
o       despejando k, obtenemos

(5)
  •       Tenemos una función g(x) que cumple:

                                                          g(x)              continua en [a,b]
                                                    g(x)                     derivable    (a,b)
                   Y además       f(a) = f(b)
  • ·        Aplicando Rolle a la ecuación (2) y valor k (5)

o       g’(c) = f’(c) – k=0



Otras formas de expresión del TVM 

     I.            Fórmula de Lagrange de los incrementos finitos
f(b) = f(a) + f’(c) (b-a)
 II.            Si hacemos h = (b-a) por ser c un punto interior es:

           

Obteniendo:




Ejemplo

Sea     f(x) =L(x+24) en el intervalo [3,14]

Hallar el punto interior c en que f(b )=f(a)+f’(c)(b-a)

Solución

f(a) = f(3)  =  L(3+24) = L (27)
f(b) =f(14) = L(14+24) = L(38)
L(38) = L(27) +f’[L(c+24](14-3)







Fórmula de Taylor


Que aceptando el símbolo f0)(a) =f(a) puede expresarse como sigue:



Demostración


  • El desarrollo es posible si es f(x) desarrollable en (a,b) hasta el órden enésimo.

  • Elección de la función auxiliar:



  • Derivadas sucesivas de g(x)




·       Se determina la constante k haciendo g(b)=0


  • g(x) cumple Rolle en el intervalo  [a,b], luego:



Substituyendo k en la fórmula anterior  de Taylor tenemos:





Resultado:
Hemos demostrado la existencia de un punto c



que hace siempre posible la fórmula de Taylor




Series funcionales. Definición


Estableciendo una aplicación entre N0 y el conjunto de funciones reales fn se determina una sucesión indefinida de funciones:
f1(x), f2x), f3(x) …, fn(x), …
De ésta podemos deducir una sucesión de sumas parciales


Llamaremos serie funcional a la expresión:


Como, fijando un valor de x, fn(x) es un número real, cada valor x determina una serie numérica cuya suma llamaremos S(x):

Campo de Convergencia
Es el conjunto de valores de x, para los que la correspondiente serie numérica es convergente. Esto implicaría que el resto de la serie, Rn(x). 



Tendería a 0 al crecer suficientemente n. Es decir, para cada x del campo de convergencia se debe cumplir que, fijado E>0

Ahora bien, si el conjunto de los px está acotado superiormente por un  valor p,  entendiendo por ello que :

Cualquiera que sea la x del campo de convergencia.  En este caso se dice que la serie converge uniformemente.

Criterio de convergencia uniforme (Weirstrass)

Una serie funcional
es uniformemente convergente en el intervalo (a,b) si es que:


 
Siendo
una serie real de términos positivos convergente.

En efecto:
Quedando este p determinado por la serie numérica
lo que quiere decir que no depende de x
Si se cumple el criterio, la serie funcional es además absolutamente convergente.


Teoremas
 “Si la serie S fn(x) es uniformemente convergente y las fn(x), son contínuas en el intervalo [a,b] la suma de la serie S (x), también es contínua en dicho intervalo”

En efecto, siendo S (x)= sn (x) + Rn (x),resulta:


                                      1                2                2      
                 
Puesto que :

 1    La suma de funciones contínuas es contínua
      2    Los restos también tienden a cero

¨      Si  S f(x) es convergente las fn(x), son derivables y la serie derivada S f'n(x)es también convergente en un intervalo [a,h] la suma de la serie derivada es la derivada de la suma S(x) de la serie dada”

Series Enteras
Recibe el nombre de serie entera o potencial toda serie de la forma:

Teorema de Abel
Si una serie entera converge en x0, también converge para todo x tal que: |x|  <  |x0|

Demostración:

  • A partir de un 
    • se cumple

    • Luego,

    • tiene por mayorante

    • que converge para


    • para una serie geométrica de razón

    • Luego 

    • para valores

    • es absolutamente convergente y, por tanto simplemente convergente como se quería probar.

    Corolario

    El campo de convergencia de las series enteras es un entorno simétrico de cero cuyo radio es el extremo superior del campo de convergencia. 
    Si R es el radio (-R, R) es el campo

    Criterios para la determinación de R

    Criterio de D’Alembert




    O bien si es


    Otenemos:




    Criterio de Cauchy




    De donde obtenemos criterio para el radio de convergencia buscado




    Aplicaciones

      1. Calcular el radio y campo de convergencia para una serie de término general:

      Solución


      Aplicamos el criterio de D’Alembert:



      Luego es  R=1  y el  Campo de Convergencia = (-1,1)


      2  El término general de la serie binómica 



      Cálcular el radio de convergencia R de la serie

      Solución


      R=1



      3       Calcular el radio de la serie de término general nnxn por  Cauchy

      R=0


            Propiedades de las series enteras

      1. Toda Sanxn es uniformemente convergente en el campo definido por su radio de convergencia R

      Luego es:

                 
      Que cumple el teorema de convergencia uniforme de Weirstrasse puesto que  |anxn| es término general de una serie real de términos positivos convergente


      1. La suma de una S anxn, es función contínua en el campo de convergencia: Considerando
      Sanxn                uniformemente convergente
      f (anxn)          contínua en el campo de convergencia
      Se cumplen las hipótesis del teorema 1 y, por tanto, la tesis.

      1. La serie derivada de una entera tiene el mismo radio de convergencia que ésta.
      Si es S anxn su derivada es: S nanxn-1 y su radio de convergencia es:

      Representación de funciones por series. Series de Taylor

      Representar una función f(x) mediante una serie es hallar una tal que su suma coincida con la función en el campo de convergencia de la serie:



      Supuesto que f(x)sea representada por la serie entera (Serie de Taylor)  S anxn ha de ser convergente en  (-R,R).



      Para x=0


      Luego finalmente, tenemos que es:


      De donde se desprende que:

      • El desarrollo de una serie entera, si existe, es único, denominandose Serie de Taylor y es una prolongación indefinida de la serie de Mc Laurin en la que desaparece el término complementario.

      Condiciones (necesarias pero no suficientes) para que f(x) tenga representación en serie de Taylor


      1. f(x) debe ser derivable indefinidamente
      2. R debe cumplir que sea R distinto de 0
      3. El resto de la serie debe coincidir con el término complementario de Lagrange



      Pues entonces, el desarrollo en serie de Taylor se identifica con la fórmula de Mc Laurin y, por tanto, con la función.
      Pero como la convergencia exige, dentro del campo, que sea:

      Es preciso que se cumpla la condición cuarta que sigue:¡

      1. La derivada enésima debe ser cero en el campo de convergencia


      En cuyo caso, se cumple:



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