sábado, 25 de noviembre de 2017

FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS, ENSUEÑO JUVENIL

1 Autores excepcionales que cambiaron mi vida: Alexander Niklitschek y Etienne Bonnot de Condillac

Una insólita manera de enterarse de qué va "eso de la matemática"

A los catorce años hube de abandonar la escuela (en la que empezaba el prier curso de bachilerato) y el conservatorio (donde estudiaba cuarto curso de piano) Mi hermana Esmeralda acababa de nacer y mi madre estaba gravemente enferma. Mi salario iba íntegro a la farmacia para poder hacer frente a esos nuevos gastos que habían surgido. Los tres años siguientes, es decir hasta los diecisiete,mi único alimento espiritual fueron los libros que buscaba con avidez y encontraba, bien en la biblioteca paterna bien en el mercado dominical del Mercado de San Antonio de mi ciudad, Barcelona. Tuve la gran suerte de encontrar dos libros excepcionales, el primero de ellos un extraordinario tratado de: divulgación de las matemáticas: "El Prodigioso Jardín de las Matemáticas" de Alexander Niklitschek, editado por Gustavo Gili en 1943.
Que un libro de divulgación que parte casi de cero, explique no solo los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral, con ejemplos luminosos y fáciles de entender para un adolescente, sino los temas de matemática avanzada, como las geometrías no euclideas, las propiedades topológicas del toro y la cinta de Moëbius, la pseudoesfera, las figuras del espacio tetradimensional R4  y la artimética transfinita de Cantor, es un milagro que no he visto repetido nunca mas. Ese libro me abrió la mente a temas que no podía ni sospechar que existían, para los que me habían preparado mis incursiones de niño en la biblioteca de mi padre, con lecturas como Platón, Voltaire,  Balmes, Pompeyo Gener y un largo etcétera desde mis once años. Niklitschek abrió mi mente a un nuevo, insólito y deseado territorio pero, sobre todo, inundó, con cosas infinitamente bellas, mi alma juvenil
No puedo dejar de reproducir aquí el capítulo que títula "La Lucha contra el infrinito", tan luminosa y extraordinariamente escrito, (y traducido) elegido por ser, ademàs del más corto de todos los del libro, uno de los más interesantes:

LA LUCHA CONTRA EL INFINITO

    Acabamos de ver en el desarrollo del curioso ejemplo del círculo, todo el poder de una definición. Valiéndonos, pues, de una  "definición" vamos a atrevernos con el monstruo infinito. La dificultad de expresar este concepto con palabras está en el hecho de que podamos "romper fuego" con varias definiciones a la vez. Los filósofos dicen, por ejemplo: "Infinito es aquello de lo que no es posible imaginar el fin, aquello a lo que no se conocen límites". Los matemáticos se expresan diciendo: "Un número o una cantidfad son inifitos cuando son mayores que toda cantidad dada, por grande que ésta sea" Podríamos aducir todavía multitud de definiciones, más o menos ingeniosas y acertadas; pues como el ingenioso Mefistófeles dijo "Dónde faltan los conceptos, acuden oportunamente las palabras" Pero sepamos lo que hemos conseguido con la definición: veamos cómo ha de ser un número al que podamos llamar "infinitamente grande"

    La consecuencia inmediata deducida del sentido puramente matemático de la afirmación de existencia de una cantidad infinita, será la de que las cuatro operacines de cálculo elelmental  - adición, substracción, multiplicación y división - escapan a dicha cantidad del mismo modo que una piña escaparía a un cascanueces vulgar con el cual se intentase romperla. Lo infinito no aument al sumarle una cantidd, por grande que sea, ni disminuye, aunque se le substraiga un número infinito monstruoso que sume una cantidad gigantesca de quintillones. Tasmpoco la multiplicaciuón puede hacer al infinito mayor de lo que es, y sería tmbién, igualmente absurda toda idea de división de la cantidad infinita. Es evidente que tales consideraciones vienen a echar por tierra todas nuestras concepciones y todas la leyes que rigen nuestra manera de pensar. Pondremos un ejemplo que, pese a su entera absurdidad aparente, es absolutamente exacto. Nos referimos a la infinidad del tiempo, a la eternidad. Si a partir del instante actual, es decir del presente, sigo contando toda una eternidad llegaré con los números tan lejos como si hubiese empezado a contar desde el más remoto pasado, desde una eternidad pretérita. Puesto que la mitad de lo infinito es infinita.

    Desde la obscura antigüedad, en que los hindúes encontraron el concepto de infinidad, la idea del ininito ha gravitado sobre el pensamiento humano como una losa. Y, al igual que el rodillo de una apisonadora no deja casi rastro de la cáscara de una nuez que por casualidad encuentra en su camino, cualquier esfuerzo mental en marcha para abarcar lo eterno o lo infinito, destruye todo nuestro bagaje intelectual reduciéndolo a la nada. No es, pues, de extrañar que entre los grandes hombres que homramos como a preclaros maestros de la humanidad haya habido muchos que elevaron su voz poderosa para prevenirnos contra la admisión de lo infinito, Aristóteles nos enseñó ya que es imposible la admisión de un infinito absoluto. Descartes rehusaba ocuparse del infinito y C. F. Gauss, príncipe de las matemáticas, se oponía al uso de toda cantidad infinita en el sentido definidor, como algo que en matemáticas no debiera permitirse jamás; pero, no obstante, la humanidad hubo de encararse con un infinito desconcertante, monstruoso e irrepresentable.

    Mejor dicho, se logró atrapar al inmenso coloso, a ese infinito en apariencia inaccesible, mediante un cascanueces gigantesco capaz de romper la inmensa nuez entre sus potentes mandíbulas de acero. En el último tercio del pasado siglo, hizo su aparición la llamada teoría de los conjuuntos que señaló nuevos rumbos a los matemáticos, en orden al estudio del infinito. Después de tántos milenios de polémica, cúpole a aquel siglo la suerte de establecer afirmaciones prácticamente irrefutables. Como en tantas otras concepciones geniales, la primera idea, la idea más fundamental, parte de un hecho sumamente sencillo.; y es por tal motivo que este arma, la mas importante para la exploración del infinito puede, no sin razón, ser considerada como un retroceso a los principios anteriores del cálculo, tales como el procedimiento de contar con los dedos, tan practicado aún entre los niños y en el seno de los pueblos salvajes. El primer término precisó montar un puente imaginario que condujera al reino tenebroso de lo infinito, es decir, que fue menester hallar una operación de cálculo que sirviese de ariete para atacar al monstruo que lleva ese nombre pues, como sabemos, el infinito no se altera, ni aumenta ni disminuye mediante la adición y substracción de números finitos, por grandes que éstos sean. El infinito multiplicado por cualquier número finito e incluso por el infinito mismo nos da, ineludiblemente, el propio infinito, del mismo modo que al dividirlo por cualquier número monstruoso, astgronómico, el cociente es, invariablemente,m el inmutable infinito.  Y ocurre exactamente igual al aplicarle la elevación a potencias, extracción de raices, cálculos logarítmicos, diferenciaciones, etc. operaciones con las que solo se logra poner de manifiesto su propia impotencia cada vez que tratan de habérselas con él.

    Después de todo lo dicho, cuando descubramos la ingenua operación que va a permitir luchar con el infinito, nos parecerá cosa de broma. Consiste sencillamente en la operación de coordenar. Supongamos, por ejemplo, que en un lugar cualquiera de una selva africana está sentado un honrado hotentote, perito en el arte de dar caza al fiero leon y al terrible rinoceronte. pero completamente en blanco por lo que se refiere al cálculol mental, ya que nuyestro negro "gentleman" no sabe ni siquiera contar.Pero ha consegui9do juntar un montçon de cocos y un pequeño jmontoncito de dátiles y quisiera saber en cuál de los montones hay más piezas. Y es entoncesque viene en su auxilio la "coordinación". Sobre cada coco coloca un dátil, y al terminar ve, de modo inconfundible, si tiene más datiles, más cocos o igual número de unos que de otros.

    He aquí otro ejemplo un poco más preciso. Para esta noche tenemos a cenar 10 convidados, y contándonos usted y yo, los dos anfitriones, seremos un total de 12 personas. En este caso será nuestra ama de llaves la que habrá de "coordenar". Cada persona requiere una silla, un plato sopero y otro llanm, un tenedor, un vaso, etc.. Y ahora toda la matemática que el caso requiere, consiste en lograr que el número de sillas, tenedores cuchilos, vasosm, etc. esté, como dice la expresión matemática

"uniformemente coordenado"
al número de las personas invitadas a cenar. Todos estos "conujuntos" de cuchillos, sillas, vasos, etc, han de ser de:
"igual número"
puestro que para 12 personas se necesitan: 12 sillas, 12 cuchillos, 12 tenedores, 12 vasos, etc. 
    Con esto tenemos la siguiente definición: Se dirá que dos cantidades tienen igual número siempre que entre sus elementos sea posible establecer un coordenación unívoca. La característica que toda cantidad ofrece de común con tods las demás cantidades de igual número, y por la que se distingue de cualquiera otra cantidad que no sea de igual númerom se denomina "número" de esta cantidad. Es claro que todo esto son "preogrulladas pero es preciso tenerlas bien presente puesto que auí surge la "idea rectora", la conclusión transcendental de nuestra coordinatoria. No habiéndonos dicho en parte alguno, ni pudiendo afirmar nadie, que la coordinación sea exclusivamente aplicable a lo finito, es deducible que debe ser también aplicable a cantidades infinitamente grandes. Y cpm ello tenemos en la mano el instrumento ideal que va a permitirnos adueñarnos de ese inabordable monstruo de lo infinito ¡Ya está tendido el puente! Mas antes de hacer uso de este instrumento que acabamos de forjar, será necesario que dejemos sentados dos puntos básicos relativos a la nomenclatura.
Fig 1 Conjunto unívocamente coordenado entre si.





En rigor, hablar de un número infinitamente grande carece de sentido; pues la propia naturaleza de infinito lleva ya consigo el ser mayor que cualquier otro número, por grande que éste sea. Será más justo, pues, hablar de "cantidades infinitas" En segundo lugar. las denominaciones de "grande" o "mayor" resultan realmente gastadas cuando se refieren al ininito, puesto que éste ha sido aceptado ya desde un principio como infinitamente grande. digamos simplemente "extenso",  en lugar de mayor digamos "más extenso" y en lugar de menor "menos extenso". Ésto, bien entendido, cuando nos referimos a cantidades infinitamente grandes.

    Ahora sabemos ya  lo  suficiente, y podemos lanzarnos a probar la mñagica vitud de nuestro cascanueces, La primera cuestión que se nos plantea corresponde tal vez a la pregunta siguiente: ¿Pero es que hay acaso cantidades infinitas? Seguramente no necesitaremos buscar demasiado pues hay, como es notorio, infinitos números naturales distintos (se consideran números naturales los números enteros positivos, como 1, 2, 3, 4, 5 ...) Así pues, , la cantidad, o mejor dicho , el conjunto de todos estos números naturaes nos ofrece un número infinito de elementos y constituye, poor tanto, una cantidad infinita. Los conjuntos que tengan "igual número" que este conjunto de los números naturales , y cuyos elementos puedan ser unívocamente coordenados con los referidos números reciben el nombre de "conjuntos infinitos numerables".

    Al decir que un conjunto tiene por número el die, por ejemplo, se quiere significar que sus elementos pueden ser coordenados con los diez primeros elementos (e número de dedos de la mano es, por lo tanto, un conjunto de esta clase y que, en consecuencia, podrá ser numerado por los primeros diez números naturales; por esto se dice que es nuymerable. Lo mismo podrìa decirse de la cantidad 11, 580 ó de la 22.545, etc. El carácter definitivo es y será siempre el de numerabilidad, o si se prefiere, la "posibilidad de numeración" . Ahora haremos lo dicho hasta aquí extensivo a los conjuntos infinitos. Según lo expuesto, un conjunto infinito numerable será aquel cuyos elementos puedan ser coordenados univocamente, con la totalidad de los números naturales, es decir, aquél cuyos elementos puedan ser "numerados" con el conjunto de los números naturales. Mas, según nuestra definición, todos los conjuntos infinitos numerables han de ser de nùmero igua, (constarán del mismo "número de piezas" , como diríamos vulgarmente). Este número ha de llevar un nombre , del mismo modo que el número coordenable con los dedos de nuestra mano izquierda lleva el número de "cinco" desde tiempo inmemorial.
El conjunto que corresponde a la totalidad de los números naturales recibe el nombre de "alfa cero". Pero, estimando que para designarlo cuadra mejor la a del alfabéto gótico, adoptaremos éste y lo usaremos aqí en lugar de aquella letra griega. De modo que, en lo sucesivo, en vez de "alfa cero" escribiremos
a

Esta  a es, por consiguiente la primera expresión de la extensión de un conjunto infinito (o también, como se dice en el lenguaje científico, de un "número cardinal transfinito" que mas adelante estudiaremos.

    Repetiremos que al decir: "un conjunto tiene el número cinco" se da a entender que os elementos de esa cantidad pueden ser coordenados unívocamente con los dedos de la mano derecha (o de la mano izquierda) , o con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, al decir que un conjunto tiene el número a se entiende que los elementos de dicho conjunhto pueden ser unívocamente coordenados con todos los números naturales , o que pueden ser "numerados con éstos".

    Consideremos ahora otros ejemplos de conjuntos infinitos numerablesy veremis enseguida como damos con hecho sumamente sorprendentes, que se hallan en c ontraposición con nuestros conceptos generalmente admitidos. Es innegable que el conjuunto de números pares es infinito numerable . Pero de ahí se deduce, sn ninguna duda posible, que de n´`umeros pares hay la misma cantidad que de números naturales en general , aunque uno se siente inclinado a aceptar que ha de haber menos números pares que números enteros en general. Resulta, pues,para sorpresa nuestra, que  ¡no es cierto que haya más números naturales que n úmeros pares! Lo mismo exactamente podríaamos decir respecto de ls números impares, cuyo conjunhto es también infinito numerable.

 ¡Existen, pues, tantos números pares, como imares y como números naturales en general! Hay algo más sorprendente todavía, pues el conjunto de parejas de números naturales es también un infinito numerable y su cantidad ha de ser, por lotanto igual a a. No resulta, en esencia, mucho más intrincada la demostración de que el conjuunto de todos los números , incluyendo los quebrados comunes, es un infinito numerable y es, por esta razón, de número igual al del conjunto de todos los números naturales, Ya en el último terceio del siglo XIX se pudo demostrar que el conjunto de todos los números posibles, con excepción de los transcendentes ,véanse páginas 50 y siguientes es también infinito numerable e igual, por consiguiente a a

Nos hallamos pues, en resumen con la sigiente serie de hechos portentosos: los números de:
todos los números naturales
todos los números pares
todos los números impares
todos los números naturales y quebrados comunes

son = "alfa cero" = a

    A la vista de tales resultados, a todas luces desvariados, el lector dudará tal vez de nuestro sano juicio. Se imaginará seguramente que en el intento de enfrentarnos con el misterioso y obsesionador infinito hemos sido vçictimas de una completa confusión mental. Pero no hay que perder la calma porque la cosa no va tan malparada.
    Si de buenas aprimeras hemos emprendido una marcha en busca de lo ignoo y aun de lo no imaginable no debe sorprendernos el oir cosas inesperadas e inauditas, pues si, por ejemplo, es claro como la luz del sol que el reciente descubrimiento de un animal desconocido hasta el presente no ha de dar pie a otra pretensión que la de clasificarle en una nueva especie, si es que realmente ofrece características esencialmente distintas de todos los animales conocidos. es claro también que las cantidades infinitamente grandes han de distinguirse de manera fundamentalísima de las cantidades finitas y que, como es de esperar, ocurra que en el inmenso terreno de lo infinito rijan leyes muy distintas de las que tienen validez en los dominios limitados de lo finito. A parte de eso, las rarezas que hemos hallado aquí en orden al primer conjunto infinito a, en ningún modo contradicen las propiedades que, desde un principio, habíamos descubierto ya en orden a las magnitudes infinitas. Pero hay más,  y es que la posible suposición de que todos los conjuntos infinitamente grandes  son iguales entre si o son iguales a a carece de todo fundamento. Vamos a verlo inmediatamente. 
   En el año de 1874 se halló la prueba de que hay conjuntos infinitos que no son numerables. Ha de haber pues, muchos (en realidad, infinitos) conjuntos infinitos. Pudo demostrarse, ante todo, que el conjunto total de los números llamados reales (que son todos los números o sea los relacionados con i) no es infinito numerable. La demostración de este asero es sencillísima e ilustrativa. Basta, en efecto, demostrar que el conjunto de los números reales que caben entre cero y uno, no es infinito numerable, es decir, que es tan numeroso que siempre nos permitirá intercalar otro número por muy tupida que me imagine su colocación previa. Para ello partimos del hecho de que las divisiones ms finas de la alineación numérica (que conocemos ya por la escala del termómetro) representan aquellas fracciones decimales no periódicas extensibles hasta el infinito (Recordar que todas las fracciones decimales periódicas, extensibles hasta el inifinito son, como ya sabemos quebrados comunes, es decir, que pueden convertirse directamente en tales)..Si logro, según eso, demostrar (y resumiré aquí las premnisas de la demostración) que en un conjunto dado de fracciones decimales indefinidas, no periódicas podré siempre interpolar una más, deduciré de tal demostración que es imposible echar ninguna cuenta, ni aún teóricamente, por el hecho de que, en todo momento, podrí añadir aún algo, en cierto modo "olvidado" Expresándolo de otra forma, diré; Si ya he terminado de contar definitivamente éste centenar, pues me será ya imposible intercalar - si no quiero salirme de los números enteros - otro número en ninguna parte. Al 38 le sigue el 39 al 82 el 83 etc. Pero la cosa varía considerablemente cuando se trata de fracciones decimales indefinidas, no periódicas. Por muchas que pongamos (situadas, por ejemplo entre 0 y 1) siempre encontraré algún nuevo decimal de este tipo para añadir. Es claro que la demostración será factible unicamente dentro de lo finito ya que no es posible escribir fracciones decimales de extensión indefinida. Pero, con todo y esa limitción, la cosa es tangible. Supongámonos antes as siguientes fracciones decimales indefinidas, no periódicas:

0,1.755.483.679.002.315 ...
0,2.039.346.588.082.413 ...
0,3.135.428.660.437.275 ...
0,4.875.635.041.311.482 ...
0,5.433.880.294.013.652 ...
0,  ... ... ... ... ... ... ... .. ... etc
 Siguiendo un método sistemático se puede indicar al momento un número cualquiera que no sea igual a cualquiera de éstos, incluso en el caso de que las fracciones decimales apuntadas se extendiesen hasta el infinito. He aquí a tal efecto la "receta": Elíjase el primer decdimal del primer número, diferente del primer decimal de la primera fracción; a continuación se pasa al segundo decimal del nuevo número, diferente del segundo decimal de la segunda fracción, seguidamente se va al tercer decimal del nuevo número escribiéndolo diferente del tercer decimal de la tercera fracción y así sucesivamente. Ahora se puede comprender claramente que de este modo habría de hallarse un nujevo número real, comprendido entre 0 y 1, distinto de cada uno de los arriba anotados. Si enb nuestro caso hubiésemos adoptado, por ejemplo, el criterio de aumentar en una unidad la cifra decimal que corresponde sucesivamente a cada una de las fracciones dadas obtendriamos un nujevo número que empezaría 0,21469 ... (y es claro que  aun hay otras posibles soluciones) ¡Con lo cual queda demostrado que el conjunto de los números reales no puede ser de igual número que el conjunto de los números naturales. Esta nueva especie de infinidad se denomina (valga la expresión) densidad de la continuidad y viene designada con la letra c.  De esas consideraciones se desprende un resultado de una gran sorpresa. En efecto, como hemos aventurado eanteriormente, el conjunto formado por los números enteros, los quebrados comunes y todas las fracciones decimles periódicas de infinitas cifras es un infinito numerable; pero por otra parte,de lo dicho últimamente se deduce la imposibilidad de que el conjunto de los números reales sea un infinito numerable, y la necesidad de que sea mayor que el conjunto de los enteros, quebrados y fracciones periódicas. Por esto ha de existir otra especie particular de números: los llmados números transcendentes, muy buscado antaño por los matemáticos, de los cuales sabemos que existen en una cantidad infinita.

    Intentaremos aclarar  ahoranuestro nuevo descubrimiento con auxilio de una imagen tangible. La densidad de un conjunto infinito numerable, como es a resulta comparable a una escalera una escalera: en cada uno de los peldaños de la misma, todos de igual altura,está un número entero. En un lugar dado ha de hallarse el peldño 2.144, el siguiente vendrá señalado por el número 2.145, al cual sigue el número 2.146 y así sucesivamente hasta llegar al infinito. Nuestra escalera con sus peldaños netamente distinguibles - podemos suponer sin inconvenientes que tienen 1 cm de separación- condujce a alturas infinitas, a alturas inifnitamente más lejanas que las de los mas distantes astros. Se comprende fácilmente que así sea porque, estando formada por un número infinito de escalones, todos ellos e altura apreciable, la longitud de la escalera ha de resultar infinita. En cambio debe existir otra escalera que representa nuestro infinito no numerable y en ella los escalones estar´`an separados por una altura infinitamente pequeña debido a que la distancia entre un número transcendente y el de igual naturaleza que le sigue es de unja pequeñez infinita. De lo cual se deduce que, si bien el número de escalones que contiene es infinito, esta escalera puede ser tan corta como se desee. Y a esta segunda especie de infinito, que representa la "densidad de la continuidad" con que se sucede la sucesión ininterrumpida de números reales podemos hacerla corresponder, por ejemplo, con los puntos de una recta.

    Nos acechan ahora dos nuevos conceptos que, como mazas vienen a dar de pleno en el parador de nuestro sistema de conceptos matemáticos haciendo saltar todas las imágenes y representaciones que se habían incorporado, en carne y hueso, a nuestra mente. Una raya de lápiz cualquiera aun suponiendo que su longitud no exceda de un par de milímetros (imaginándola como una linea ingávida y sin espesor) contiene tantos puntos como corresponden al infinito conjunto de la continuidad. ¡Tenemos, pues, que toda una infinidad real cabe en el bolsillo de nuestro chaleco.

    Pero aún hay más: Esa infinidad de la continuidad es muyo "mayor" que la de c, que es la expresión mas pequeña de conjuntos infinitamente grandes. Y esto nos conduce a la mas extravagante de las insensateces, a saber: Ni en toda la extensión deuna hoja de papel, ni siquiera en todo el orbe entero, está contenido mayor número de puntos que el de los que pueden alojarse en una raya de lápiz de unos dos milímetros de longitud. Ignoramos cuánto "mayor" o "mas poblado" es el infinito de la continuidad con respecto al c. En torno a esa cuestión se halla planteado el famoso problema de la continuidad, que absorbe los esfuerzos de los mejores matemáticos sin que hayan logrado encontrar, hasta el presente, ninguna pista que permita esperar una posibilidad de solución. Se sospecha, apenas, que la continuidad pueda ser tan densa como indica el concepto numérico que podríamos adquirir por la consideración del resultado de multiplicar a veces por si mismo un número finito igual o mayor que 2. Así, por ejemplo:

2 a = c , o también:  11.000.000.000 a = c

    Si uno medita un poco sobre esta sencilla fórmula, no podrá por menos que echarse a reir ante el lastimoso agotamiento de nuestr capacidad de razonamiento y de imaginación, cansado por la entrada en escena de tres o cuatro letras. Tenemos que hay dos infinitos de diferente magnitud y que el paso de un infinito a otro es por demás singular. Para ello hay que tomar el número 2, o uno mayor que éste,, a condición de que sea finito y multiplicarlo por si mismo tantas veces como elemntos contenga el conjunto infinito mas pequeño que es a. Todo esto, diríase que tiene algo de locura, y esta impresión se acentuará todavía más cuando sepamos que entre el número - sin dueda ilimitado- de infinitos existente hay todavía una tercera especie que ha sido estudiada y que hoy es ya en cierto modo comprendida. Se trata de f o sea, el número de funciones posible o,. mekjor explicado, el número total de posibilidades de que un número dado de magnitudes puedan coexistir en mútua dependencia. Resumiendo lo visto hasta aquí diremos que hoy día son tres las infinidades que han sido objeto de mas concentrado estudio - estableciéndose algunas leyes de cálculo que difieren bastante de aquellas otras que rigen en nuestro mundo finito- y son:

a = conjunto de todos los números naturales
c = conjunto de todos los números reales
f = conjunto de todas las funciones
 
    Para  la mejor comprensión de lo dicho, haremos memoria de lo anteriormente expuesto: hemos hallado "cantidades" de diferente especie ue las conocidas en el mundo finito. Hemos penetrado en otro dominio de las matemáticas que carece ya de toda conexión con lo finito. Se pueden admitir infinitos de la extensión que se quiera 0, por decirlo así, inventar, sin tasa, potencias de lo infinito cvada vez más elevadas. Lo que, pmpero, no nos es posible, al menos con los nñumeros que nos hemos creado en lo finito y para lo infinito, es hacer deslindes, ni siquiera aproximdamente. Todas las cantidades infinitamente grandes son, por decirlo así, tan gigantescas que sus límites quedan borrados en una inundacion de toda clase de números y conceptos numéricos finitos.Son como el océano que no se deja limitar por un surco abiertocon la contera del bastón en la arena de la playa a. Podría esperarse de eso que fuera posible obtener el mayor de los números finitos. Pero esto no es posible; y no lo decimos precisamente a causa de que hayamosllegado a formarnos un concepto de la cantidad a, sino por motivo de la consabida definición de lo infinito, puesto que un número es infinito cuando es mayor que todo número dado por grande que éste sea. ¿Qué debo hacer pues para no incurrir en contradicción con lo que nos ha servido de punto de partida? Es dificil de enunciar aquí todo lo que podido establecerse acerca de los conjuntos infinios; en su contexto, la teoría de los conjuntos está aún, actualmente en pleno período de desarrollo, y únicamente pueden ser admitidas como seguras algunas pocas reglas aisladas para el cálculo de cantidades infinitas. El programa, de antemano traido aquí para nuestro paseo no nos permite seguir avanzando por aquellos extraños dominios limítrofes del saber humano.

    El lector que nos ha seguido fielmente por los intrincados vericuetos preguntará:, ¿Es que hay en realidad algo infinito?

    La interrogación es oportuna en absoluto mas no podemos contestarla sin salirnos de los conocimientos que nos ha sido posible establecer hasta aqui. . Nos daremos por satisfechos afirmando simplemente que- por lo que nos es dado juzgar- no existen realmente sino dos posibilidades de infinito, a saber: La infinidad del espacio y la del tiempo. Pero estos problemas desempeñan un papel decisivo consideranciones de naturaleza muy distinta, y habremos de volver mas adelante sobre este tema. De momento no podemos sino afirmar con satisfacción que gracias a la coordenatoria hotentote hemos librado una batalla victoriosa contra el monstruo de lo infinito ,que en un principio parecía inatacable, y hasta hemos conseguido recoger algún botín. El hecho de que no hayamos podido apoderarnos de todo , era de prever, como es natural, desde un principio. Un famoso astrofísico alemán que se ha dedicado durante muchos años al estudio de este problema del infinito , dijo en una ocasión con ironía; "La idea que podemos hacernos del infinito es tan incompleta como la que un ciego pudiera hacerse acerca de la inmensidad de la amplitud imponente y la grandiosidad del océano por la sola impresión de tener en la mano un trapo mojado" Sea como quiera hemos logrado salir ventajosamente de este ataque. Pero al proseguir nuestros avance vamos a aproximarnos a nuevos monstruos matemáticos geométricos, pasando por enrevesados caminos que, a pesar de los obstáculos en ellos acumulados, nos llevar´n a la contemplación de curiosas maravillas de la vida cotidiana.. También en este nuevo capítulo la entrada en materia será por vía nada sospechosa y de modo aparentemente inofensivo.


ALGUNAS IMÁGENES NOTABLEMENTE DIDÁCTICAS DE CAPÍTULOS ANÁLOGOS

 




 




La representación del cubo en la cuarta dimensión (tesarct) se obtiene de análoga manera a como se
hace para el cubo tridimensional al proyectarlo sobre el plano bidemensional, es decir conservando
la ortogonalidad que aquí proyectamos  sobre el espacio tridimensional X Y Z  en vez  sobre el X Y


EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS SEGÚN CONDILLAC

Poco antes de mi encuentro con la obra que acabo de comentar había encontrado el libro que había de orientarme de la filosofía a las matemáticas: La obra de un abate del siglo XVIII, Etienne Bonnot de Condillac. Gracias a él entendí qué era el lenguaje algebraico y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales partiendo de la lógica,más concretamente del análisis de ese lenguaje específico de las matemáticas. Sigamos lo que dice Codillac en algunos de los pasajes de su lección XVI que reproduce una conversación entre padre e hijo;
    P: El problema es el siguiente: Tengo cierto número de monedas repartidas entre mis dos manos. Si hago pasar una moneda desde la mano derecha a la izquierda tendre tantas en una como en otra mano y si paso una de la izquierda a la derecha, tendré en ésta el doble. Se pregunta: ¿Cuál es el número de monedas que tengo en cada mano
    Ya sabes que no se trata de adivinar este número haciendo suposiciones sino que es menester hallarlo razonando, pasando de lo conocido a lo incógnito por un encadenamiento de juicios. Ahora dime tú, como matemático qué harías.
    H: Sabiendo que hay dos condiciones dadas o, por mejor decir dos datos,desde louego notaré que para encontrar el número que solicito deberé observa las relaciones en que están los datos y veré que esas relaciones son más o menos conocidas según la mayor o menor sencillez con que se expresen.
    P: Pues expresémoslos de este modo, si te parece: El número que contiene la mano derecha cuando se le quita una moneda es igual al que está en a mano izquierda cuando a ésta se le añade uno. Pero este primer dato estaría explicado con demasiadas palabras: Asñi podr`´ia decirse, mas brevemente: El número de la izquierda menos una unidad es el de la derecha mas una unidad.
   H. También se podría expresar más brevemente diciendo : La derecha menos una es igual a la izquierda más una.
   P. Tienes razón ¿Pero qué utilidad se saca de todo esto, dirán algunos? ¿Qué utilidad? El observar cómo, de traducción en traducción se llega a la expresión más simple del primer dato y el ver que cuando mas se abrevía el razonamiento, tanto más se aproximan las ideas, y que cuánto más próximas están es mas fácil abrazarlas bajo todas las relaciones.     Ahora debemos tratar el segundo dato con el msmo estilo del primero, esto es: traducirlo a su mas simple expresión y a ti te toca echar los cimientos, como en el primero.
    H. Está muy bien, en virtud del segundo dato del problema, si se pasa una moneda desde la mano izquierda a la derecha, se tendrá el duplo en ésta, luego el número de mi mano izquierda, disminuido en una unidad es la mitad del de mi mano derecha aumentado en una unidad.
.... .... .... ....
    P: ... ... Y se podrá decir: La derecha menos uno es igual a la izquierda más uno y la derecha más uno es igual a dos izquierdas menos dos.
.... .... .... .... siguiendo con el análisis llegamos a expresar que: 
La derecha es igual a la izquierda más dos. La derecha es igual a dos izquierdas menos tres

 La izquierda más dos es igual a dos izquierdas menos tres
Dos mas tres es igual a dos izquierdas menos una izquierda
Esto es: Cinco es igual a una izquierda, con lo que está resuelto el problema supuesto que se ha descubierto que el número de monedas que tengo en la izquierda es cinco y que en las ecuaciones La derecha es igual a la izquierda más dos y la derecha es igual a dos izquierdas menos tres se encuentra que siete es el número que tengo en mi derecha, y que los dos números 5 y 7 satisfacen las condiciones del problema.
      
Como se vé, la gracia del razonamiento es que llega a resolver el sistema de ecuaciones tan solo mediante razonamiento lógico con lenguaje diario. Eso me posibilitó en su momento entender el lenguaje algebraico. Mi siguiente paso como autodidacta, fue hacerme con los magníficos libros de matemática para el plan de bachillerato entonces vigente, escritos por dos grandes maestros: Rey Pastor y Puig Adam. Hice luego mi bachillerato en academia e Instituto, estudiando por la noche a la salida del trabajo. No fue mérito propio sino la infinita suerte de haberme cruzado con grandes hombre y matemáticos que además eran maestros que sabian enseñar y no solo eso sino enamorarle a uno de su ciencia, para toda la vida. 


Mi infinito agradecimiento a quienes me ayudaron tan generosa y desinteresadamente con la lógica y la matemática  en aquellos lejanos y difíciles años que recuerdo hoy aquí con nostálgia.

Platón,
Alexander Niklitschek
Etienne Bonnot de Condillac
Julio Rey Pastor
Pedro Puig Adam
Juan Casulleras Regás
Jorge Dou Más de Xexás




    
   






viernes, 27 de octubre de 2017

MONIAC, EL ORDENADOR ANALÓGICO HIDRÁULICO DE W.A. PHILLIPS



Hace mas años de los que me gusta recordar, en 1978, cuando cursaba, en horario nocturno,  tercer curso de ciencias económicas en la universidad de Barcelona, tuve un profesor inolvidable que, por desgracia ya no está entre nosotros. Su generosidad y sencillez, cualidades que solo tienen los hombres buenos y sabios hizo que, además de su magisterio,  me honrara con su amistad. 


A la sazón preparaba su tesis doctoral ( que tengo desde entonces en mi biblioteca y ahora  a mi lado mientras redacto esas lineas) sobre modelos dinámicos de control en la economía y quiso compartir su pensamiento, de amplia base matemática eseñando a un pequeño grupo del que yo formaba parte la belleza de los sitemas de control, cálculo matricial, análisis de Fourier y transformadas de Laplace en una visión profunda y bella de esos paradigmas a los modelos de la economía Kaynesiana. 

Firg. 1


Ya antes, gracias a él que me hizo traducirlo y exponerlo en clase, conocí el curioso trabajo del economista W.A. Phillips que construyó una máquina hidráulica, un ordenador analógico para visualizar y resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el modelo Keynesiano con especial inciso en la estabilidad de las medidas de política monetaria.

Phillips construyó una primera versión de dicha máquina en la universidad de Leeds y otra mejorada en la London School of Economics descrito en  su artículo publicado en la revista ECONOMICA (New Series vol 17, num 67 Aug 1950)


Partiendo de la propuesta de Boulding de un modelo cualitativo que describe las relaciones entre producción, existencias, consumo y precio que Phillips desarrolló para cuantificarlo y permitir mostrar de forma precisa las relaciones entre variables flujo, y variables fondo y las  variaciones de la renta nacional  ante la introducción de políticas monetarias y fiscales Keynesianas.


Fig 2: Universidad de Leeds: Producción, consumo,
existencias y precio de un producto (tanque único)
Fig 3 London School of Economics.  Dos  tanques  M1 t M2
            



1. Punto de Partida


El flujo de producción va al tanque que contiene las existencias, de donde se extrae el flujo de consumo, controlado y medido por una segunda válvula similar a la primera. El pequeño flotador en el tubo de consumo mantiene una cantidad constante de agua sobre la válvula, independientemente del nivel de agua en el tanque y del flujo de consumo. Se supono que el precio se determina instantaneamente por la cantidad de existencias representada por la cantidad de líquido en el tnaque, y elprograma de demanda para ellas, representado por la capacidad del tanque en niveles diferentes, y por lo tanto se muestra inversamente por la altura del. agua en el tanque. El tanque es rectangular excepto por un extremo, cuya forma y posición se derivan de la curva de demanda de stocks para reproducir en la máquina la relación asumida o encontrada para mantener entre stokcks y el precio de la mercancía. Este extremo del tanque, aunque hermético al agua se desliza libremente cuando se gira el volante, lo que permite un cambio en la curva de demanda para las acciones que se introduzcan.




Unido a un flotador en el tanque hay una barra, libre para moverse verticalmente entre guías, y que lleva dos gráficos, una curva de producción y una de consumo, que se mueven delante de sus respectivas válvulas. Cada gráfico se hace cortando una ranura angosta en una lámina fina de plástico; un pasador que se proyecta desde el extremo de la válvula se engancha en esta ranura de modo que cuando el flotador mueve el gráfico verticalmente, el gráfico mueve la válvula horizontalmente, abriendo o cerrando según la forma de la curva. Los gráficos se adjuntan a la barra mediante clips de resorte y se pueden mover en cualquier dirección para permitir que se introduzcan los cambios de las funciones de producción y consumo.
El precio puede leerse a una escala lineal (el camino correcto hacia arriba marcado a lo largo de la ordenada de cada gráfico, contra una línea de cursor grabada a lo largo del lado de la válvula.
Dadas las dimensiones del tanque y las válvulas, la elección de las unidades para las escalas determina una constante de tiempo para el modelo. Esto se muestra más fácilmente con un ejemplo. Supongamos que la escala de precios se elige de tal manera que la relación requerida entre el stock y el precio de un producto se reproduzca en el modelo cuando una pulgada cúbica de agua se hace equivalente a una tonelada de la mercancía. Supongamos también que las válvulas están diseñadas para que cada pulgada de válvula crea que hay un flujo de una pulgada por minuto, equivalente a diez mil toneladas del tiempo de producto básico en el modelo. Si ahora se escogen las escalas marcadas como diez mil toneladas por año por pulgada de abertura de válvula como las más adecuadas para las magnitudes reales de los flujos de producción y consumo, se ha fijado una constante de tiempo haciendo un minuto en el modelo equivalente a un año en realidad.

Sea u el flujo de producción, v el flujo de consumo, w las existencias y p el precio, todo medido, por simplicidad, desde una base en la que el sistema está en equilibrio. Entonces tenemos, por definición, la identidad,

u-v = dw / dt,

y tres hipótesis

u = lp


v = mp


w = np


donde l, m, y n, son parámetros,
Si un tiempo t = 0, desde el equilibrio, hay un cambio espontáneo, Δv, en el consumo, entonces


Por lo tanto,
 
o

La solución de esta ecuación.


 
da el camino del cambio de precio inducido. La condición de estabilidad es
 


Si se supone que el precio cae como no aumento, entonces  n <0 b=""> y la condición de estabilidad es que l-m> 0 o que l . En este caso, el precio converge exponencialmente hacia el valor de equilibrio



Para un cambio espontáneo, Δu, en el flujo de producción, el cambio de precio inducido en

Y para un cambio espontáneo en la demanda de acciones que provoca un cambio inmediato en el precio de Δp, el camino del cambio de precio inducido posterior es


es decir, el precio vuelve a su valor de equilibrio original

2. El Modelo Simple


En el modelo que se muestra en la Fig. 3, se asume una economía sin comercio exterior u operaciones gubernamentales. Estas suposiciones simplificadoras se relajarán más tarde. El agua en el tanque inferior, M1, representa los saldos monetarios activos o de transacciones, definidos como los saldos mínimos de trabajo necesarios para llevar a cabo un determinado nivel de actividad económica, y se supone que es una función de los ingresos. El ingreso o renta, Y. fluye desde M1, a través de una ranura que se muestra en el inserto en la Fig. 3. La ranura tiene una forma tal que la tasa de flujo es proporcional a la altura del tanque, y la altura puede usarse para medir el flujo de ingresos, en una escala lineal. Una bomba eléctrica lleva el flujo de ingresos a la parte superior del modelo donde se divide en ahorros, S y consumo, C1

Los ahorros son controlados por dos válvulas opuestas, y medidas por la apertura entre ellas, la composición es controlada y los ahorros un residuo. El gasto de consumo vuelve directamente a M1. Flujo de ahorros en el tanque que contiene los saldos excedentes, M2, definido como todo el dinero que excede los saldos de trabajo mínimos. El gasto de inversión, I, controlado y medido por dos válvulas, se extrae de M2 y, combinando con el consumo para formar el gasto total, E, fluye hacia M1.

Para permitir la extensión o contracción del suministro de dinero, el agua se bombea desde un tanque separado (no se muestra en el diagrama) a la pequeña caja en la extrema derecha del modelo, el desbordamiento de la caja regresa al tanque. La caja está conectada por un tubo flexible al tanque M2. La altura de la caja se puede variar para hacer que el nivel de agua en él sea más alto o más bajo que en el tanque M2, causando un flujo hacia o desde M2 aproximadamente proporcional a la diferencia entre los dos niveles. Una pestaña en el tubo se cierra cuando se desea operar con una cantidad constante de dinero, se quiere  operar con una cantidad constante de dinero,

El tiempo necesario para que los saldos activos circulen una vez en el sistema, igual a M1 / Y, es el recíproco de la velocidad de ingreso de la circulación de los saldos activos y se llamará período de circulación, P. La duración real del período de circulación parece estar entre tres y cuatro meses en Inglaterra y los Estados Unidos. En el modelo si el extremo ajustable del tanque M1 es vertical. P será proporcional a la longitud operativa del tanque independientemente del valor de Y, ya que tanto M1 como Y son proporcionales a la altura del agua en el tanque. Por lo tanto, una escala interna puede instalarse a lo largo del tanque. dando el período de circulación en meses. La posición de esta escala determina una constante de tiempo para el modelo. Si cuando el extremo ajustable del tanque se establece en la marca de tres meses en la escala, el tiempo requerido para que la cantidad de agua en el tanque fluya una vez alrededor del circuito es de medio minuto, la constante de tiempo es de dos minutos en el modelo a un año un gráfico de ingresos contra el tiempo en años.

Cuando el sistema está en equilibrio I = S, E = Y, y la tasa de cambio M1, y Mx es cero. Si, a partir de esta posición, hay un aumento de la inversión y, por lo tanto, en E, Y no aumenta de inmediato en una cantidad igual, sino que gradualmente a medida que el exceso de F sobre Y aumenta gradualmente M1.

Este desfase entre el gasto y el ingreso (y sus ventas y resultados reales) se debe a que un aumento en el gasto y las ventas conduce en primer lugar a una reducción de las existencias y debe transmitirse a través de complejas cadenas de transacciones intermedias, algunas cortas y otras muy largas , antes de que produzca un aumento equivalente en la producción y los ingresos. En el modelo, no hay retardo  entre ingresos y gastos, es decir, no hay retardo de Robertson. Sin embargo, si redefinimos Y para que sea idéntico con E, la entrada en M1, y llamemos a la salida de ida, M1, "ingreso disponible". ya no tenemos un retardo en la salida de ventas, sino que tenemos un equivalente distribuido del ingreso de Robertsonian, el retraso de los gastos.


La operación del modelo no se ve afectada de ninguna manera por la elección entre estos conjuntos de definiciones, que conducen a resultados similares proporcionando los períodos de los rezagos son los mismos. A partir de la evidencia empírica, parece que el retardo  ingreso-gasto es solo en relación con el retraso en el ingreso del gasto (o ventas-producto), por lo que se utiliza aquí la última interpretación.

Por supuesto, no hay razón para que un modelo que incluya ambos retardos  no deba hacerse. En el modelo mecánico, esto requeriría la inclusión de un tanque único, sería ingreso, y la salida sería el equivalente en términos de análisis continuo del ingreso disponible de Robertson. El agua en el primer tanque representaría los saldos de trabajo personal. Los negocios y los ahorros personales tendrían que tratarse por separado, asumiéndose que los ahorros de las empresas son una función del producto (ingreso) y el ahorro personal en función de los ingresos disponibles. Se puede demostrar que un cambio en el sistema se realizaría a través de una serie de oscilaciones amortiguadas. La relación entre las variables se puede ver en el diagrama. Las formas  y la posición, de modo que la altura del agua en el tanque M2 mida (inversamente) el rt de interés, i. La tasa de interés opera la curva de ahorro "clásica" y la eficiencia marginal del límite caital para controlar el ahorro y la inversión. Los ahorros también se controlan a través de la válvula de la mano izquierda por la curva de propensión  al ahorro. que es operado por un flotador en el tanque M1 para que se mueva verticalmente con el ingreso. Se podría usar una curva de "propensión a invertir" similar para operar la inversión de control de la válvula izquierda, pero ha sido preferible introducir una relación de aceleración entre "ingreso e inversión". El mecanismo del acelerador consiste en un flotador profundo y estrecho con un pequeño orificio en el fondo, que cuelga de un resorte y está conectado por un nivel doblado a la válvula de inversión. En equilibrio, el nivel de agua dentro del flotador será el mismo que el del tanque M1, y la posición de la válvula es cero inversión inducida. Si S es decreciente, el nivel de M1 disminuirá y estará temporalmente por debajo del nivel del agua en el flotador, ya que el agua dentro del flotador puede filtrarse lentamente. Se colocará un peso extra en el resorte, que se extenderá, cerrando un poco la válvula de inversión y causando una inversión inducida negativa. Por el contrario, cuando Y está aumentando, la inversión inducida será positiva, siendo siempre una reducción de la tasa de cambio del ingreso.


Se notará que en este modelo S = f (Y) + φ (Y, t). y de manera similar para la inversión, a través de una mejor suposición sería que S = La última suposición podría ser utilizada si las dos válvulas de ahorro fueron reemplazadas por una sola carga de resorte, escuchando contra un contorno de bloque de superficie dado S = ξ (Y, t), el bloque moviéndose verticalmente con ingresos y horizontalmente, en ángulo recto al movimiento de la válvula, con la tasa de interés.
En modelos de este tipo, es habitual considerar que las válvulas se dan en algún tipo de unidades reales, o que están en unidades monetarias, pero que los precios son constantes. en el modelo mecánico, sin embargo, podemos introducir los precios indirectamente en el sistema, de una manera aproximada y engorrosa, haciendo uso del hecho de que la máquina se ocupará de las relaciones no lineales. Se supone que el nivel de precio generak es una función de meney income, Y. Esta función se puede dibujar en el lado del tanque M1, con Y a lo largo de la ordenada y el nivel de precio a lo largo de la abscisa, los valores se leen en la intersección de la curva y el nivel del agua. También se puede extraer otra curva del ingreso real contra el ingreso monetario, derivado de la curva del precio. Cualquier relación dada en unidades reales se puede convertir en una relación equivalente en unidades monetarias, y la gráfica de esta última se usa en la máquina.



2. El multiplicador con tasa de interés constante

En el tratamiento matemático del modelo, las funciones deben asumirse como lineales y los precios como constantes.
Si la tasa de interés se mantiene constante por las variaciones apropiadas en el suministro de dinero, y se desaprueba el acelerador para que la inversión se realice y sea una variable independiente, tenemos las siguientes identidades por definición, las variables se miden por simplicidad, desde una base en la cual el sistema está en equilibrio.





Si el equilibrio en el momento  t=0, la inversión se incrementa en   , entonces, de las ecuaciones  (1), (2) y (3),




´También:



Las ecuaciones (5) y (6) dan el mismo valor final para el multiplicador que se obtiene en el camino de análisis del período habitual, por supuesto, está en continuo en lugar de escalonado. Sin embargo, si se dibujan las curvas, se encontrará que el proceso de ajuste en este modelo es más permisivo que el obtenido en un modo de análisis de período en el que el desfase se hace igual al período de circulación.

Esto es el resultado de la forma de retraso distribuido utilizado aquí. Este retraso, L, se puede definir como el intervalo de tiempo en el que Y se rezaga detrás de E, es decir, el valor de L. que hace Yt + L ¨ = Et, para todos los valores de t. Por ejemplo, E aumenta en 100 unidades, es el tiempo que transcurre antes de que y también haya aumentado en 100 unidades. sustituyendo las ecuaciones (5) y (6) en esta expresión, obtenemos la relación:



Algunos valores de L, con diferentes propensiones marginales para ahorrar, se resuelven en la tabla a continuación:



La velocidad del proceso de ajuste está determinada no solo por el período de circulación, sino por el retraso distribuido L, que es más largo que el período de circulación, excepto cuando la propensión marginal a ahorrar es cero. Duro tanto el análisis continuo como el análisis del período son solo aproximaciones rudimentarias a la realidad, creo que no hay duda de que el análisis continuo es más realista que uno en el que se supone que los ajustes ocurren en etapas a intervalos de tres o cuatro meses. Si esto es así, debe concluirse que el tiempo necesario para que un proceso multiplicador funcione por sí mismo es más largo que el mostrado por una secuencia de análisis de período en la que el desfase se hace igual al período de circulación de los saldos activos.

3 El Multiplicador Con Cantidad Constante de Dinero

Si la cantidad de dinero es contante, la tasa de interés puede variar


libremente, debemos hacer uso de la parte del modelo mecánico que se ocupa de la determinación de la tasa de interés. Es obvio que, en este caso, el proceso multiplicador posterior a un aumento espontáneo en el delta de inversión se verificará en cierta medida si la transferencia de dinero de M2 a M1 induce un aumento en la tasa de interés, ya que esto reducirá el exceso de inversión sobre el ahorro (a menos que las curvas sean tales que un aumento en la tasa de interés disminuya los ahorros más que la inversión, lo cual es altamente improbable).


Al medir nuevamente las variables desde una base en la cual el sistema está en equilibrio y asumiendo la linealidad, tenemos otra identidad.







donde λ es la función de preferencia de liquidez "propia" (función L2 de Keynes) y η es la eficiencia marginal de la función de capital. La ecuación (3) también debe cambiarse a:




donde ξ es la pendiente de la curva de ahorro de intereses.
De (1), (9) y (10) e introduciendo el cambio espontáneo ΔI obtenemos




Y dado que podemos confiar en que




Sabemos que   



La ecuación (12) por lo tanto muestra que cuando la cantidad de dinero es constante, el multiplicador es más pequeño y el proceso de ajuste más rápido que cuando la tasa de interés es constante. La condición de estabilidad que





también muestra que el sistema es más estático; una propensión marginal al consumo de más tah unidad





no necesariamente hace que el sistema sea explosivo. Si la elasticidad de la curva de preferencia de liquidez es infinita,
                                                                                                            


y tenemos el caso especial keynesiano, en el que la ecuación (12) se reduce a la ecuación (5) para dar el proceso de multiplicador habitual y la condición de estabilidad



4 El Acelerador

En este modelo, las hipotesis se realizan con la inversión inducida y la tasa de cambio de los ingresos. No es necesario suponer que toda la inversión es inversión inducida, pero como las ecuaciones mostrarán solo variaciones desde una posición de equilibrio, la parte constante de la inversión no necesita aparecer. La relación entre el ingreso y la inversión inducida debe ser rezagada de alguna manera si los sistemas son oscilatorios.

Por lo tanto, establecemos los siguientes hipótesis




donde I es el valor que tendría la inversión inducida si no hubiera desfase, y β es el coeficiente de aceleración, y



donde γ es una constante de retraso. En otras palabras, la inversión inducida se aproxima al valor que tendría si no hubiera desfase a una tasa proporcional a la diferencia entre los valores reales y los no desfasados.



Con referencia a la Fig. 3, para una construcción dada de flotador y mecanismo de válvula, β aumentará si la palanca doblada se eleva, levantando tanto el fulcro F como el punto de unión al cable que lleva el flotador, ya que esto aumentará la válvula movimiento para una extensión dada de la primavera ..
La constante de retraso aumentará al disminuir el tamaño del orificio de fuga en el flotador. Sin embargo, esto también alterará β, por lo que la posición de la palanca se debe ajustar siempre que se cambie la constante de retardo, si β se mantendrá constante.
combinando las ecuaciones (13) y (14),




Si se supone nuevamente que la tasa de interés se mantiene constante, obtenemos combinando las ecuaciones  (13) y (14)

5 La Determinación de la Tasa de Interés

Las discusiones sobre la tasa de interés parecen haber sufrido a menudo por la falta de una técnica adecuada para mostrar el proceso de cambio a lo largo del tiempo de los factores interrelacionados.

El modelo descrito aquí puede ayudar a aclarar que las preferencias de liquidez y los fondos prestables no son inconsistentes entre sí, como podría ser el resultado de algunas de las controversias entre sus exponentes, no simplemente formas diferentes de decir lo mismo, como lo es a veces implícito, pero son partes complementarias de un sistema más amplio.

Con referencia a la figura 3, vemos que en el modelo, la tasa de interés se determina en cualquier instante solo por la oferta y demanda de "stocks" de saldos inactivos. Una disminución en la curva de preferencia de liquidez no es infinitamente elástica, causará una caída inmediata en la tasa de interés. Pero si S e I son en absoluto elásticos al interés, serán cambiados tanto directamente por el cambio en la tasa de interés, como indirectamente por el cambio subsiguiente en la relación ingreso-inversión.
Cualquier diferencia entre S e I causa un cambio gradual en M2 y, por lo tanto, reacciona de nuevo en la tasa de interés, de modo que los efectos completos del cambio dependen de las formas de las funciones de "flujo". Podemos suponer que debido a la caída inicial de la tasa de interés aumentaré, mientras que S puede disminuir y en cualquier caso no aumentará tanto como I. El exceso resultante de I sobre S causa una caída gradual en M2, de modo que la tasa de interés tiende a aumentar nuevamente; pero también causa un aumento gradual en M1 e Y. Si, a medida que aumenta Y, induce un mayor aumento en S que en I, esta tendencia se verificará antes de que la tasa de interés vuelva a su valor original. Sin embargo, si debido al efecto del acelerador, o a una extensión del optimismo que conduce a un cambio en el cronograma del incremento marginal en I que en S, el proceso de expansión irá más allá, y la tasa de interés puede temporalmente elevarse por encima de su valor original.

Por otro lado, el aumento en Y también puede causar una mayor disminución en la preferencia de liquidez, por lo que se verifica el aumento en la tasa de interés y permite que el proceso expansivo continúe incluso más tiempo.

Las diferencias de opinión con respecto a los principales determinantes de la tasa de interés y los efectos de un cambio en la tasa de interés, por lo tanto, dependen de diferentes suposiciones hechas en cuanto a las formas y la estabilidad de las relaciones involucradas, y parece más útil para atentar la difícil tarea de probar estas relaciones empíricamente que enfadar en argumentos basados ​​en suposiciones sobre ellos. Sin embargo, un argumento puede sugerirse aquí.

Si la curva de preferencia de liquidez no es infinitamente elástica, y si el cambio en la tasa de interés no cambia directamente las acciones en la misma dirección que, y en una cantidad igual o mayor que, en los cambios de inversión, entonces la tasa de interés tiene una función equilibradora en el sistema. Su efecto es más débil y más lento de lo que se pensaba antes del trabajo de Keynes, y además, en tiempos de grandes fluctuaciones en los ingresos, puede verse casi completamente inundado por los efectos del acreedor y cambios en la preferencia de liquidez y la eficiencia marginal del capital. funciones.

Pero si se evitan cambios repentinos en el nivel de ingresos para las políticas fiscales u otras, la influencia equilibradora de la tasa de interés se vuelve relativamente más fuerte, de modo que la política monetaria se convierte en un complemento necesario de la política fiscal.

Por ejemplo, si desde el equilibrio en timew t = 0, M2 se incrementa mediante deltaM2, la ruta del cambio en la tasa de interés (descuidando el acelerador) vendrá  dada por:


y el camino del cambio en el ingreso está dado por






El efecto final sobre la tasa de interés es por lo tanto mayor cuando la fórmula es pequeña, la fórmula es pequeña y sigma es grande, mientras que el efecto final en el ingreso es mayor cuando la forma es pequeña, porque es grande y la forma es pequeña. Como en el caso del proceso multiplicador-acelerador, tales ejercicios tienen sus usos, siempre que se tengan en cuenta las limitaciones impuestas por los supuestos.

Se podrían elaborar procesos similares en el modelo mecánico si se registrara la tasa de interés. Se podrían utilizar relaciones no lineales, y se podrían observar los efectos de los cambios superpuestos en diferentes funciones en diferentes momentos, dando una especie de imagen simplificada de eventos consecutivos en la historia económica.

III

Hasta ahora hemos asumido una economía cerrada sin operaciones del gobierno. En el modelo que se muestra en la figura 4. estas suposiciones son relajadas. El flujo de ingresos, después de ser bombeado a la parte superior del modelo, se divide en impuestos T, y el ingreso después de impuestos. El
flujo impositivo se controla y mide en una válvula operada desde el flotador en el tanque M1 a través de una curva de impuestos a los ingresos. El ingreso después de impuestos fluye a una pequeña caja de medición, cuya ranura de salida es idéntica a la del tanque M1, de modo que el flujo se mide por la altura del líquido
Fig 4. Esquema de la versión final de la máquoina. La Economía Abierta
en la caja, en la misma escala que la


medición del ingreso.
La caja es pequeña, por lo que el error causado por el agua atrapada es insignificante.
Después de fluir a través de la caja de medición, los ingresos después de impuestos se dividen en consumo y ahorro, el consumo controlado por la curva de propensión alconsumo  y la curva de o
de tasa de interés al consumo, siendo el ahorro residual. La posición de la función de consumo está controlada por el nivel de agua en la caja de medición. Como esta caja es demasiado pequeña para que un control flotante funcione satisfactoriamente, es necesario utilizar un pequeño mecanismo servo motor.
Consiste éste en un motor eléctrico que acciona la polea sobre la que pasa el hilo de conexión. La velocidad y  dirección del motor están controladas por dos pequeños electrodos parcialmente sumergidos en el agua. Cuando el nivel sube, el motor gira la polea en una dirección contraria a las manecillas del reloj, levantando los electrodos y manteniendo así su posición relativa al nivel del agua.
Por el contrario, cuando el nivel del agua cae, el motor gira la polea en el sentido de las agujas del reloj. La operación es, por lo tanto, similar a la que ocurriría si los electrodos fueran un flotador lo suficientemente grande como para operar la función de consumo directamente.
El servo mecanismo también hace posible retrasar el consumo detrás de los ingresos después de impuestos. Los electrodos se sumergen en el agua en un pequeño cuenco conectado a la
caja de medición, no en la caja en sí. El tamaño del orificio que conecta el tubo a la caja es ajustable, y cuando es pequeño, el nivel en el tubo va por detrás del que está en la caja, de modo que el flujo de consumo se convierte en una función rezagada del ingreso después de impuestos. Se puede hacer una distinción entre este tubo de retraso y lo que ocurre en, por ejemplo, el modelo Robertsoniano. En este último, el retraso se produce como resultado de un intervalo de tiempo entre el ingreso y el gasto. Esto podría llamarse retraso "estructural", y se representa en un análisis continuo por el tiempo empleado, después de un aumento en el ingreso, para acumular saldos de trabajo a un nivel acorde con el mayor gasto. El tipo de retraso recién introducido actúa además del retardo "estructural"; podría llamarse retardo"psicológico", causado por la inercia en el cambio de hábitos.
El gasto gubernamental, G, se controla y mide con una válvula, que también puede funcionar en función de los ingresos si se desea ilustrar los efectos estabilizadores o un programa fiscal compensatorio automático. El nivel de agua sobre esta válvula se mantiene constante al conectarlo a través del tubo horizontal al tubo de inversión. Esto también hace que cualquier déficit presupuestario se cubra automáticamente extrayendo saldos inactivos, M2 y cualquier superávit presupuestario para contribuir al gasto de inversión, y el drenaje de los saldos inactivos se ve disminuido en una cantidad equivalente.
Consumo, inversión y gasto público se combinan para formar el gasto interno, D. El gasto en el exterior para las importaciones, Im, se toma del gasto interno y los ingresos del exterior para las exportaciones, por ejemplo, se suman al gasto total de los bienes del país de origen , E, que fluye de regreso al tanque M1. El gasto interno se mide llevándolo a través de una pequeña caja similar a la descrita anteriormente, y un segundo mecanismo servo motor opera una propensión a importar curva, haciendo que las importaciones sean una función (rezagada si se desea) del gasto interno.
Los pagos de las importaciones fluyen y los ingresos de las exportaciones provienen de la marca de los tanques pequeños, "balanzas en libras esterlinas", el agua en la que se representan las tenencias extranjeras del dinero del país de origen. La cantidad de estos saldos,
junto con el cronograma de demanda para ellos, representado por la capacidad o el tanque en diferentes niveles, determine en cualquier momento el tipo de cambio, de la misma manera que en el caso del precio y de la tasa de interés. Este programa de demanda podría llamarse apropiadamente la función de preferencia esterlina.
El tipo de cambio está representado por el nivel de líquido en el tanque, y un flotador puede usarse para operar los gráficos de las importaciones de tipo de cambio y exportaciones que controlan las importaciones y exportaciones a través del par de válvulas derechas. Una pequeña caja, alimentada desde un tanque de agua de repuesto y conectada al tanque de saldos en libras esterlinas mediante un tubo flexible, puede usarse para representar las operaciones de una cuenta de compensación cambiaria, depositar fondos en el mercado de divisas del mercado de divisas o retirarlos de ellos. Para controlar el tipo de cambio.
Cuando se cierra el grifo en el tubo, se representa un sistema con tasas de cambio libremente fluctuantes.
El ingreso nacional se registra como en el modelo anterior, y en la versión que ahora se está construyendo se están insertando pequeños cuadros de medida y flotadores en los flujos de importación y exportación, permitiendo que las importaciones y exportaciones se registren en un solo gráfico, de modo que el comercio el equilibrio se verá directamente desde la brecha entre ellos. Suponiendo que no haya otros elementos en la balanza de pagos, será posible demostrar el funcionamiento del patrón oro ajustando la expansión o contracción del crédito a un múltiplo de la balanza comercial en cualquier momento.
Parece posible que estas pequeñas cajas, incluidas en este modelo admitidas con un propósito puramente mecánico, puedan tener algún significado económico. Por ejemplo, aquellos en los flujos de importaciones y exportaciones, que contendrán un volumen de agua proporcional a la media aritmética de las importaciones y exportaciones, podrían interpretarse como que contienen saldos de trabajo necesarios para financiar transacciones comerciales extranjeras reales, el saldo de las libras esterlinas continúan saldos excedentes a aquellos requeridos para las transacciones actuales. De forma similar, un recuadro insertado en el flujo de inversión contendría lo que podría llamarse saldos de inversión de trabajo, un fondo circulante que cubre el intervalo de tiempo entre el dinero que se saca del mercado monetario y su gasto real en bienes de inversión.
Esto parecería ser el equivalente de los saldos de "Finanzas" de Keynes. Las relaciones adicionales introducidas en el sistema por tal división de balances de trabajo complicaría considerablemente el análisis matemático en cualquier caso particular, a pesar de que puede demostrarse fácilmente que darían lugar a ajustes que tienen lugar a través de una serie de oscilaciones.
Es posible conectar juntos dos de los modelos que se muestran en la figura 4, para tratar las relaciones multiplicadoras entre los ingresos de dos empresas, o de una empresa y el resto del mundo. Conectar a más de dos sería difícil, ya que cada país debe tener una propensión a importar la función para cada otro país. El método más fácil de interconexión sería asumir un tipo de cambio fijo, y ejecutar el flujo de importaciones de un modelo en el tubo de exportación del otro. Otro, aunque sería más difícil, usar un mecanismo servo * para operar la izquierda. la mano exporta la válvula de cada modelo, manteniendo al mismo tiempo las exportaciones iguales a las importaciones en el otro modelo multiplicadas por la tasa de cambio, que podría mantenerse por las operaciones de la "cuenta de igualación


 COLOFON 

De la máquina original se construyeron un total de 14 copias Varios gobiernos, Universidades y bancos mostraron interés en hacerse con una.  La que puede verse a continuación está en Nueva Zelanda, patria de W.A. Phillips  en el Museo del Banco de la Reserva.El MONIAC es el único en funcionamiento en el hemisferio sur. En uso en el LSE a menudo se combinó con un segundo MONIAC calibrado para representar el "resto del mundo". En 1987 la LSE donó la máquina al NZIER y se puso en funcionamiento en 199. Fue restaurada de nuevo en 2003 para ser mostrada en la Bienal de Venecia de Arte Contemporaneo. El NZIR la cedió al Museo del Banco de la Reserva en 2006 y se sometió a una nueva restauración a mediados de 2007

 




Gráfico 1 publicado `por Museo del Banco de Reserva Federal de Nueva Zeñanda




















Gráfico 2 publicado por Museo del Banco de Reserva Federal de Nueva Zelanda

Bibliografía
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 1. ECONOMICA  (New Series vol 17, num 67 Aug 1950)
2. Introducción al uso de los modelos dinámicos de control en 
economía , tesis doctoral. Eduardo Berenguer, 
Barcelona marzo 1980
3. Teoría y Política Macroeconómica. William Branson,  
Fondo de Cultura Exonómica. Madrid 1978
4. Introducción a las ecuaciones en diferencias finitas. Samuel 
Goldberg. Marcombo, S.A. 1961 Barcelona
5. Métodos y modelos matemáticos de la dinámica económica.  
Giancarlo Gandolfo. Editorial Tecnos, Madrid 1978
6 Economía matemática. R.G.D. Allen. Aguilar, 1966 Madrid
 7 Introducing the MONIAC: an early and innovative
economic model.
Tim Ng, Economics, and Matthew Wright, Communications. 
Reserve Bank of New Zealand: Bulletin, 
Vol. 70, No. 4, December 2007
8 El economista camuflado ataca de nuevo.Tim Harford. 
De bolsillo editorial, Barcelona 2016