viernes, 21 de julio de 2017

DETERMINANTES FUNCIONALES

DEPENDENCIA LINEAL

Dadas n funciones de una sola variable x se dirá que son linealmente dependientes si existe alguna combinación lineal de las mismas de coeficientes no todos nulos que sea identicamente nula. 



Para cualquier valor de x . Si las funciones son derivables hasta el orden (n-1) formamos el sistema:


  
   


Para que haya coeficientes de la combinación lineal, no todos nulos, es preciso pues, que se cumpla:


Este determinante formado por las n funciones y sus derivadas sucesivas hasta el orden n-1 se llama WRONSKIANO.

La condición necesaria y suficiente para que n funciones sean linealmente dependientes es que su Wronskiano sea idénticamente nulo. 

En este caso, para hallar esta dependencia al solucionar el sistema, recuérdese que si el rango fuera n-1 los valores dependerían del valor arbitario que dieramos a uno de los coeficientes de la combinación lineal y si el rango fuera n-2 dependería de dos de ellos, etcétera.

En caso contrario se diría que esas funciones son linealmente independientes.

DEPENDENCIA FUNCIONAL

Téngase presente ain embargo, que np incluimos en la definición el caso de que G consista en multiplicar por cero cada función de las dadas



Para que haya soluciones diferentes de la trivial (todas cero) es preciso que el determinante del sistema sea idénticamente nulo 
Cambiando filas por columnas se obtiene la expresión siguiente a la  que damos el nombre de  DETERMINANTE JACOBIANO



La condición necesaria y suficiente para que n funciones de n variables sean funcionalmente independientes, es que su Jacobiano sea idénticamente nulo. El número de funciones menos el rango del Jacobiano nos da el número de relaciones de dependencia.






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